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数值分析原理(吴勃英)

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时间:2020-10-16 09:48:55大小:8.7 MB已被942人关注 资源下载

数值分析知识点总结
数值分析知识点总结

数值分析(numerical analysis),为数学的一个分支,是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科。它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象,为计算数学的主体部分。

函数求值

数值分析中最简单的问题就是求出函数在某一特定数值下的值。最直觉的方法是将数值代入函数中计算,不过有时此方式的效率不佳。像针对多项式函数的求值,较有效率的方式是秦九韶算法,可以减少乘法及加法的次数。若是使用浮点数,很重要的是是估计及控制舍入误差。 

求解方程

另一种常见的问题是求特定方程式的解。首先会依方程式是否线性来区分,例如方程式 2x+5=3是线性方程式,而2x25=3是非线性方程式。此领域许多的研究都和求解线性方程组有关。直接法是线性方程组的系数以矩阵来表示,再利用矩阵分解的方式求解,这些方法包括高斯消去法、LU分解,对于对称矩阵(或埃尔米特矩阵)及正定矩阵可以用乔莱斯基分解,非方阵的矩阵则可以用QR分解。迭代法包括有雅可比法、高斯–塞德迭代法、逐次超松驰法(SOR)及共轭梯度法,一般会用在大型的线性方程组中。

求根算法是要解一非线性方程,其名称是因为函数的根就是使其值为零的点。若函数本身可微且其导数是已知的,可以用牛顿法求解,其他的方法包括二分法、割线法等。线性化则是另一种求解非线性方程的方法。

求解特征值

许多重要的问题可以用奇异值分解或特征分解来表示。例如有些图像压缩算法就是以奇异值分解为基础。统计学中对应的工具称为主成分分析。

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数值分析难吗
数值分析难吗

数值分析不难,起码计算数学会把这门课扩充为数值代数、数值逼近和微分方程数值解三门更加深入的课程。所以作为应用数学的同学,学习的数值分析是属于扩充知识面的水准,你要有信心。

至于你为什么会觉得难,私以为是这门课综合性比较大的缘故,比如数值代数部分(数值分析中线性代数求解部分)就涉及泛函分析、高等代数、算法设计等内容,初上是会不习惯将一个以前默熟于心的计算过程用算法描述出来的,所以对这部分,你要一遍遍在脑子里构建那个计算过程,行与列哪个在先?矩阵存储于二维数组中,行列分别是怎么遍历的?每个变量取的意义是什么?等等,把这步困难的走了,后面涉及算法的描述才能理解得更快。而且由于数值计算最后总会归结为解线性方程组,所以这部分也是数值分析的基础。

最后,学习迭代法时,对泛函中压缩映像原理用得很多,还涉及数项级数的内容,还有默认你们懂的矩阵分析,所以我建议高代学的不太好的同学,去看看矩阵分析前两章,看看矩阵特征值和各种范数的定义以及各个范数之间的关系。其次数值分析计算量很大,尤其理论分析时又是代数计算,所以还对数分的要求很高,比如微分方程数值解部分,通常的方法都是用差分近似微分方程,我映像中有一次分析五点差分格式时多元taylor做到了五阶,太考耐心了。而有限体积法对二型曲线积分也有一定的要求。数值逼近部分貌似数值分析只讲拟合和插值的计算,对理论要求不高,所以,这部分还是考高代和数分的计算。

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