《计算方法（第2版）》课后习题答案

本书比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书共分12章，主要内容有：引论、计算方法的数学基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算和MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用。

目录

• 第1章 引论 1
• 1.1 从数学到计算 1
• 1.2 误差理论初步 5
• 1.2.1 误差的来源 5
• 1.2.2 误差的度量 6
• 1.2.3 误差的传播 9
• 1.2.4 数值稳定性 11
• 1.3 数值计算的若干原则 11
• 1.3.1 避免两个相近数相减 12
• 1.3.2 避免用绝对值过小的数作为除数 12
• 1.3.3 要防止大数“吃掉”小数 13
• 1.3.4 简化计算步骤，提高计算效率 14
• 1.3.5 使用数值稳定的算法 14
• 本章小结 16
• 习题1 16
• 第2章 计算方法的数学基础 18
• 2.1 微积分的有关概念和定理 18
• 2.1.1 数列与函数的极限 18
• 2.1.2 连续函数的性质 20
• 2.1.3 罗尔定理和微分中值定理 20
• 2.1.4 积分加权平均值定理 21
• 2.2 微分方程的有关概念和定理 22
• 2.2.1 基本概念 22
• 2.2.2 初值问题解的存在唯一性 23
• 2.3 线性代数的有关概念和定理 23
• 2.3.1 线性相关和线性无关 23
• 2.3.2 方阵及其初等变换 25
• 2.3.3 线性方程组解的存在唯一性 27
• 2.3.4 特殊矩阵 29
• 2.3.5 方阵的逆及其运算性质 30
• 2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质 31
• 2.3.7 对称正定矩阵 34
• 2.3.8 对角占优矩阵 35
• 2.3.9 向量和连续函数的内积 36
• 2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数 37
• 2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限 42
• 本章小结 43
• 习题2 43
• 第3章 方程求根 45
• 3.1 引言 45
• 3.2 二分法 46
• 3.3 迭代法 50
• 3.3.1 不动点迭代 50
• 3.3.2 迭代法的收敛性 51
• 3.3.3 迭代法的改善 57
• 3.4 牛顿迭代法 59
• 3.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义 59
• 3.4.2 牛顿迭代公式的收敛性 60
• 3.4.3 重根情形 63
• 3.5 弦截法 65
• 本章小结 66
• 习题3 66
• 第4章 解线性方程组的直接法 68
• 4.1 引言 68
• 4.2 高斯消去法 69
• 4.2.1 顺序高斯消去法 69
• 4.2.2 主元素高斯消去法 73
• 4.2.3 高斯-约当消去法 75
• 4.3 矩阵三角分解法 77
• 4.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解 77
• 4.3.2 直接三角分解法 78
• 4.4 解三对角方程组的追赶法 82
• 4.5 误差分析 85
• 4.5.1 病态方程组与条件数 85
• 4.5.2 病态方程组的解法 89
• 本章小结 90
• 习题4 90
• 第5章 解线性方程组的迭代法 92
• 5.1 引言 92
• 5.2 雅可比迭代法 94
• 5.3 高斯-塞德尔迭代法 95
• 5.4 迭代法的收敛性 97
• 本章小结 104
• 习题5 104
• 第6章 函数插值 107
• 6.1 引言 107
• 6.1.1 插值问题 107
• 6.1.2 插值多项式的存在唯一性 108
• 6.2 拉格朗日插值 109
• 6.2.1 线性插值与抛物插值 109
• 6.2.2 拉格朗日插值 111
• 6.2.3 插值余项与误差估计 113
• 6.3 牛顿插值 117
• 6.4 埃尔米特插值 121
• 6.5 分段低次插值 123
• 6.5.1 高次插值与龙格现象 123
• 6.5.2 分段线性插值 124
• 6.5.3 分段三次埃尔米特插值 126
• 6.6 样条函数插值 128
• 6.6.1 三次样条插值函数 128
• 6.6.2 三次样条插值函数的求法 130
• 本章小结 133
• 习题6 133
• 第7章 函数逼近 137
• 7.1 引言 137
• 7.2 函数的内积与正交多项式 138
• 7.2.1 权函数和函数的内积 138
• 7.2.2 正交函数系 138
• 7.2.3 勒让德多项式 140
• 7.2.4 切比雪夫多项式 141
• 7.3 最佳一致逼近 142
• 7.3.1 基本概念 142
• 7.3.2 线性最佳一致逼近多项式 143
• 7.3.3 近似最佳一致逼近多项式 145
• 7.4 最佳平方逼近 146
• 7.4.1 基本概念 146
• 7.4.2 最佳平方逼近函数 147
• 7.5 离散数据的曲线拟合 149
• 7.5.1 曲线拟合问题 149
• 7.5.2 多项式拟合 150
• 7.5.3 正交多项式拟合 152
• 本章小结 153
• 习题7 154
• 第8章 数值积分与数值微分 155
• 8.1 引言 155
• 8.1.1 数值求积的必要性 155
• 8.1.2 数值积分的基本思想 156
• 8.1.3 代数精度 156
• 8.1.4 插值型求积公式 158
• 8.2 牛顿-柯特斯求积公式 160
• 8.2.1 牛顿-柯特斯公式的导出 160
• 8.2.2 牛顿-柯特斯公式的误差估计 162
• 8.3 复合求积公式 164
• 8.3.1 复合梯形求积公式 165
• 8.3.2 复合辛普生求积公式 166
• 8.4 外推算法与龙贝格算法 168
• 8.4.1 变步长的求积公式 168
• 8.4.2 外推算法 169
• 8.4.3 龙贝格求积公式 170
• 8.5 高斯求积公式 174
• 8.5.1 高斯点与高斯求积公式 174
• 8.5.2 高斯-勒让德求积公式 175
• 8.5.3 高斯求积公式的稳定性和收敛性 178
• 8.6 数值微分 179
• 8.6.1 中点公式 179
• 8.6.2 插值型微分公式 181
• 本章小结 183
• 习题8 183
• 第9章 常微分方程初值问题的数值解法 187
• 9.1 引言 187
• 9.2 欧拉公式 189
• 9.2.1 欧拉公式及其意义 189
• 9.2.2 欧拉公式的变形 190
• 9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶 193
• 9.4 龙格-库塔方法 196
• 9.4.1 龙格-库塔方法的基本思想 196
• 9.4.2 二阶龙格-库塔方法的推导 196
• 9.4.3 四阶经典龙格-库塔方法 199
• 9.5 单步法的收敛性和稳定性 201
• 9.5.1 单步法的收敛性 202
• 9.5.2 单步法的稳定性 204
• 本章小结 207
• 习题9 207
• 第10章 矩阵特征值计算 210
• 10.1 引言 210
• 10.2 幂法及反幂法 212
• 10.2.1 幂法 212
• 10.2.2 反幂法 215
• 10.3 QR方法 216
• 10.3.1 反射变换 217
• 10.3.2 矩阵的QR分解 218
• 10.3.3 QR方法 220
• 10.4 雅可比方法 221
• 10.4.1 平面旋转矩阵 221
• 10.4.2 雅可比方法及其改进 223
• 本章小结 225
• 习题10 226
• 第11章 函数优化计算 227
• 11.1 引言 227
• 11.2 一元函数优化计算 228
• 11.2.1 牛顿法 228
• 11.2.2 拟牛顿法 230
• 11.2.3 黄金分割法 231
• 11.3 多元函数优化计算 232
• 11.3.1 多元函数有最优解的条件 232
• 11.3.2 多元函数数值求解的原则 233
• 11.3.3 梯度法 234
• 11.3.4 牛顿法 236
• 11.3.5 共轭方向法 238
• 11.3.6 拟牛顿法（变尺度法） 240
• 本章小结 242
• 习题11 243
• 第12章 MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用 244
• 12.1 MATLAB简介 244
• 12.2　命令窗口和基本命令 245
• 12.3 变量、常量和数据类型 246
• 12.4 数值运算 247
• 12.4.1 向量运算 247
• 12.4.2 矩阵运算 248
• 12.5 符号运算 251
• 12.5.1 字符串运算 251
• 12.5.2 符号表达式运算 252
• 12.5.3 符号矩阵运算 255
• 12.5.4 符号微积分运算 256
• 12.5.5 方程求解 258
• 12.6 图形可视化 260
• 12.6.1 二维图形绘制 260
• 12.6.2 三维图形绘制 261
• 12.7 程序设计 262
• 12.7.1 命令文件与函数文件 262
• 12.7.2 控制语句 263
• 12.7.3 调试方法 265
• 12.8 MATLAB在计算方法中的应用 266
• 12.8.1 方程求根 266
• 12.8.2 解线性方程组的直接法 270
• 12.8.3 解线性方程组的迭代法 275
• 12.8.4 函数插值 278
• 12.8.5 函数逼近 281
• 12.8.6 数值积分 283
• 12.8.7 常微分方程的数值解法 287
• 12.8.8 矩阵特征值问题计算 291
• 12.8.9 函数优化计算 297
• 本章小结 299
• 习题12 300
• 附录A 计算方法实验 301
• 实验1 方程求根 302
• 实验2　解方程组的直接法 303
• 实验3 解线性方程组的迭代法 304
• 实验4 插值问题 305
• 实验5 曲线拟合 306
• 实验6 数值积分 307
• 实验7 数值微分 308
• 实验8 求解常微分方程的初值问题 309
• 实验9 求解三对角线性方程组 310
• 实验10 矩阵特征值问题计算 312
• 实验11 函数优化计算 313
• 参考文献 315