《常微分方程及其应用》课后答案

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《常微分方程及其应用》封面
  • 出版社:科学出版社
  • 作者:周义仓
  • 大小:14.5 MB
  • 类别:常微分
  • 热度:788
  • 常微分方程(第三版)
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  • 常微分方程及其应用(第2版)
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  • 常微分方程(第2版)
  • 《常微分方程及其应用:方法、理论、建模、计算机》是常微分方程理论、方法与应用有机结合的一本教材,它保持我国现行教材中理论性强、方法多样、技巧和实例丰富等特点,结合国外教材中强调建模、应用和计算机等特点,形成理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充的新体系。不仅训练学生严密的数学思维方式,而且引导学生建立数学模型去解决实际问题。既讲述求解各类微分方程解析解、数值解的方法,又介绍用计算机分析求解的过程。本教材的主要内容包括求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论、定性稳定性基础、近似方法及其实现、建立微分方程模型解决实际问题。

    《常微分方程及其应用:方法、理论、建模、计算机》可以作为数学与应用数学专业、信息科学与计算数学专业的常微分方程课程教材,也可以作为理工科学生数学建模、数学实验等参考书。

    目录

    • D1二版前言
    • D1一版前言
    • D11章引论
    • 1.1微分方程的概念和实例
    • 1.1.1导出微分方程的一些实际例子
    • 1.1.2微分方程的概念
    • 1.1.3微分方程的发展
    • 习题1.1
    • 1.2解的存在唯Yi性
    • 1.2.1例子和思路
    • 1.2.2存在唯Yi性定理及其证明
    • 1.2.3存在唯Yi性定理的说明及例子
    • 习题1.2
    • 1.3一阶微分方程的向量场
    • 1.3.1向量场
    • 1.3.2积分曲线的图解法
    • 习题1.3
    • 复习题1
    • D12章一阶微分方程
    • 2.1线性方程
    • 2.1.1线性齐次方程
    • 2.1.2线性非齐次方程
    • 2.1.3Bemoulli方程
    • 2.1.4线性微分方程的应用举例
    • 习题2.1
    • 2.2变量可分离的方程
    • 2.2.1变量可分离方程的求解
    • 2.2.2齐次方程
    • 2.2.3变量可分离方程的应用
    • 习题2.2
    • 2.3全微分方程
    • 2.3.1全微分方程的定义与充要条件
    • 2.3.2全微分方程的积分
    • 2.3.3积分因子
    • 习题2.3
    • 2.4变量替换法
    • 2.4.1形如dy/dx=f-axbyc的方程
    • 2.4.2形如yf-xydxxg-xydy=0的方程
    • 2.4.3其他变换举例
    • 2.4.4Riccati方程
    • 习题2.4
    • 2.5一阶隐式微分方程
    • 2.5.1可解出y或x的方程与微分法
    • 2.5.2不显含x或y的方程与参数法
    • 2.5.3奇解与包络
    • 习题2.5
    • 2.6近似解法
    • 2.6.1逐次迭代法
    • 2.6.2Taylor级数法
    • 2.6.3Euler折线法
    • 习题2.6
    • 2.7一阶微分方程的应用
    • 2.7.1曲线族的等角轨线
    • 2.7.2放射性废物的处理问题
    • 2.7.3我国人口的发展预测
    • 习题2.7
    • 复习题2
    • D13章二阶及高阶微分方程
    • 3.1可降阶的高阶方程
    • 3.1.1不显含未知函数z的方程
    • 3.1.2不显含自变量£的方程
    • 3.1.3全微分方程和积分因子
    • 3.1.4可降阶的高阶方程的应用举例
    • 习题3.1
    • 3.2线性微分方程的基本理论
    • 3.2.1线性微分方程的有关概念
    • 3.2.2齐次线性方程解的性质和结构
    • 3.2.3非齐次线性方程解的结构
    • 习题3.2
    • 3.3线性齐次常系数方程
    • 3.3.1复值函数
    • 3.3.2常系数齐次线性方程
    • 3.3.3某些变系数线性齐次微分方程的解法
    • 习题3.3
    • 3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法
    • 3.4.1非齐次项为多项式的情形
    • 3.4.2非齐次项为多项式与指数函数之积的情形
    • 3.4.3非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形
    • 习题3.4
    • 3.5高阶微分方程的应用
    • 3.5.1机械振动
    • 3.5.2RLC电路
    • 习题3.5
    • 复习题3
    • D14章微分方程组
    • 4.1微分方程组的概念
    • 4.1.1微分方程组的实例及有关概念
    • 4.1.2函数向量和函数矩阵
    • 4.1.3微分方程组解的存在唯Yi性定理
    • 习题4.1
    • 4.2微分方程组的消元法和首次积分法
    • 4.2.1微分方程组的消元法
    • 4.2.2微分算子与线性微分方程组
    • 4.2.3微分方程组的首次积分法
    • 习题4.2
    • 4.3线性微分方程组的基本理论
    • 4.3.1线性齐次方程组解的结构
    • 4.3.2非齐次线性微分方程组解的结构
    • 习题4.3
    • 4.4常系数齐次线性微分方程组
    • 4.4.1系数矩阵A有单特征根时的解
    • 4.4.2系数矩阵A具有重特征根时的解
    • 4.4.3矩阵指数函数的定义和性质
    • 习题4.4
    • 4.5常系数非齐次线性微分方程组
    • 4.5.1常数变易法
    • 4.5.2线性变换法
    • 4.5.3待定系数法
    • 习题4.5
    • 4.6微分方程组应用举例
    • 4.6.1两个弹簧和物体的竖直运动
    • 4.6.2复杂电路的计算
    • 4.6.3人造卫星的轨道方程
    • 习题4.6
    • 复习题4
    • D15章非线性微分方程组
    • 5.1非线性方程研究的例子与概念
    • 5.1.1例子
    • 5.1.2自治微分方程与非自治微分方程、动力系统
    • 5.1.3基本定义
    • 习题5.1
    • 5.2自治微分方程组解的性质
    • 5.2.1自治系统轨线的特点
    • 5.2.2自治系统解的基本性质
    • 习题5.2
    • 5.3平面线性系统的奇点及相图
    • ……
    • 5.4几乎线性系统解的稳定性
    • 5.5LyapunOvD1二方法
    • 5.6二维自治微分方程组的周期解和极限环
    • 复习题5
    • D16章Maple简介与应用
    • 6.1Maple的基本功能
    • 6.2微积分运算
    • 6.3线性代数
    • 6.4图形
    • 6.5方程求解
    • 6.6Maple编程
    • 参考文献
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    精选笔记1:python实现数学模型(插值、拟合和微分方程)

    17小时15分钟前回答

    问题1 车辆数量估计

    题目描述

    交通管理部门为了掌握一座桥梁的通行情况,在桥梁的一端每隔一段不等的时间,连续记录1min内通过桥梁的车辆数量,连续观测一天24h的通过车辆,车辆数据如下表所示。试建立模型分析估计这一天中总共有多少车辆通过这座桥梁。

    python 实现(关键程序)

    def get_line(xn, yn):
        def line(x):
            index = -1
            # 找出x所在的区间
            for i in range(1, len(xn)):
                if x <= xn[i]:
                    index = i - 1
                    break
                else:
                    i += 1
            if index == -1:
                return -100
            # 插值
            result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[
                index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index]))
            return result
        return line
    time = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8,
        9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17,
        18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]
    num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25,
        12, 5, 10, 12, 7, 9, 28,
        22, 10, 9, 11, 8, 9, 3]
    # 分段线性插值函数
    lin = get_line(time, num)
    # time_n = np.arange(0, 24, 1/60)
    time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1)
    num_n = [lin(i) for i in time_n]
    sum_num = sum(num_n)
    print("估计一天通过的车辆:%d" % sum_num)

    结果

    问题2 旧车平均价格

    题目描述

    某年美国旧车价格的调查资料如下表所示,其中 x i x_i xi​表示轿车的使用年数, y i y_i yi​表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线拟合表中所给的数据,并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少?

    Python 实现(关键程序)

    from scipy.optimize import curve_fit
    def func(x, a, b, c): # 指数函数拟合
      return a * (b**(x-1)) + c
    
    year = np.arange(1, 11, 1)
    price = [2615, 1943, 1494, 1087, 765, 538, 484, 290, 226, 204]
    
    popt, pcov = curve_fit(func, year, price)
    a = popt[0]
    b = popt[1]
    c = popt[2]
    price_fit = func(year, a, b, c)

    结果


    问题3 微分方程组求解

    题目描述

    求下列微分方程组(竖直加热板的自然对流)的数值解

    Python实现(关键程序)

    from scipy.integrate import solve_ivp
    def natural_convection(eta, y): # 将含有两个未知函数的高阶微分方程降阶,得到由2+3个一阶微分方程组成的方程组
      T1 = y[0]
      T2 = y[1]
      f1 = y[2]
      f2 = y[3]
      f3 = y[4]
      return T2, -2.1*f1*T2, f2, f3, -3*f1*f3 + 2*(f2**2)-T1
    
    eta = np.linspace(0, 10, 1000)
    eta_span = [0, 10]
    init = np.array([ 1, -0.5, 0, 0, 0.68])
    
    curve = solve_ivp(natural_convection, eta_span, init, t_eval=eta)

    结果

    问题4 野兔数量 题目描述

    某地区野兔的数量连续9年的统计数量(单位:十万)如下表所示.预测t = 9, 10时野兔的数量。

    Python实现(关键程序)

    import numpy as np
    
    year = np.arange(0, 9, 1)
    num = [5, 5.9945, 7.0932, 8.2744, 9.5073, 10.7555, 11.9804, 13.1465, 14.2247]
    
    fit = np.polyfit(year, num, 1)
    print("线性拟合表达式:", np.poly1d(fit))
    num_fit = np.polyval(fit, year)
    plt.plot(year, num, 'ro', label='原始数据')
    plt.plot(year, num_fit, 'b-',label='拟合曲线')
    year_later = np.arange(8, 11, 0.5)
    num_fit_curve = fit[0] * year_later + fit[1]

    结果

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    学习笔记

    3小时38分钟前回答

    python实现数学模型(插值、拟合和微分方程)

    问题1 车辆数量估计 题目描述 交通管理部门为了掌握一座桥梁的通行情况,在桥梁的一端每隔一段不等的时间,连续记录1min内通过桥梁的车辆数量,连续观测一天24h的通过车辆,车辆数据如下表所示。试建立模型分析估计这一天中总共有多少车辆通过这座桥梁。 python 实现(关键程序) def get_line(xn, yn): def line(x): index = -1 # 找出x所在的区间 for i in range(1, len(xn)): if x = xn[i]: index = i - 1 break else: i += 1 if index == -1: return -100 # 插值 result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[ index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index])) return result return linetime = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17, 18, ……

    2小时1分钟前回答

    python能解微分方程吗

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    20小时15分钟前回答

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    前言 简单介绍下python的几个自动求导工具,tangent、autograd、sympy; 在各种机器学习、深度学习框架中都包含了自动微分,微分主要有这么四种:手动微分法、数值微分法、符号微分法、自动微分法,这里分别简单走马观花(hello world式)的介绍下下面几种微分框架; sympy 强大的科学计算库,使用的是符号微分,通过生成符号表达式进行求导;求得的导数不一定为最简的,当函数较为复杂时所生成的表达式树异常复杂; autograd自动微分先将符号微分用于基本的算子,带入数值并保存中间结果,后应用于整个函数;自动微分本质上就是图计算,容易做很多优化所以广泛应用于各种机器学习深度学习框架中……