《实变函数与泛函分析》课后习题答案

本书是大学《实变函数与泛涵分析》课程教材，是为非基础数学专业本科生编写的。读者对象是应用数学、计算数学、统计及物理专业的本科生。

目录

• *章 集合与运算
• 1.1 集合及其运算
• 1.1.1 集合及其运算
• 1.1.2 上极限与下极限
• 习题
• 1.2 映射
• 1.2.1 映射
• 1.2.2 势
• 习题
• 1.3 n维欧氏空间酞Rn
• 1.3.1 n维欧氏空间Rn
• 1.3.2 闭集、开集和Borel集
• 1.3.3 开集的结构，连续性
• 1.3.4 n维点集连续性的基本定理
• 习题
• 第二章 Lebesgue测度
• 2.1 Lebesgue外测度与可测集
• 2.1.1 外测度
• 2.1.2 Lebesgue可测集
• 2.1.3 测度空间
• 习题
• 2.2 Lebesgue可测函数
• 2.2.1 Lebesgue可测函数
• 2.2.2 可测函数的基本性质
• 2.2.3 测度空间上的可测函数和性质
• 习题
• 2.3 Lebesgue可测函数列的收敛性
• 2.3.1 可测函数列的几乎一致收敛与几乎处处收敛性
• 2.3.2 可测函数列的依测度收敛性
• 2.3.3 可测函数与连续函数
• 2.3.4 测度空间上可测函数的收敛性
• 习题
• 第三章 Lebesgue积分
• 3.1 Lebesgue可测函数的积分
• 3.1.1非负可测函数的积分
• 3.1.2一般可测函数的积分
• 3.1.3黎曼积分与Lebesgue积分的关系
• 3.1.4测度空间上可测函数的积分
• 习题
• 3.2 Lebesgue积分的极限定理
• 3.2.1 Lebesgue积分与极限运算的交换定理
• 3.2.2 黎曼可积性的刻画
• 3.2.3 L（X，F，μ）中积分的极限定理
• 习题
• 3.3 重积分与累次积分
• 3.3.1 Fubini定理
• 3.3.2 测度空间上的重积分与累次积分
• 习题
• 第四章 Lp空间
• 4.1 Lp空间
• 4.1.1 Lp空间的定义
• 4.1.2 Lp空间的性质
• 4.1.3 Lp空间的完备性
• 4.1.4 Lp空间的可分性
• 习题
• 4.2 L2空间
• 4.2.1 L2空间的内积
• 4.2.2 L2空间的性质
• 习题
• 4.3 卷积与Fourier变换
• 4.3.1 卷积
• 4.3.2 L2（Rn）上的Fourier变换
• 习题
• 第五章 Hilbert空间理论
• 5.1 距离空间
• 5.1.1 距离空间定义和完备化
• 5.1.2 列紧性与可分性
• 5.1.3 连续映射与压缩映射原理
• 习题
• 5.2 Hilbert空间理论
• 5.2.1 定义
• 5.2.2 正交性
• 5.2.3 Riesz表示定理
• 习题
• 5.3 Hilbert空间上的算子
• 5.3.1 线性算子的连续性和有界性
• 5.3.2 共轭算子
• 5.3.3 投影算子
• 习题
• 5.4 Hilbert空间上的紧算子
• 5.4.1 紧算子定义
• 5.4.2 Fredholm理论，紧算子的谱
• 5.4.3 Hilbert—Schmidt理论
• 习题
• 第六章 Banach空间
• 6.1 Banach空间
• 6.1.1 Banach空间定义
• 6.1.2 线性赋范空间上的模等价
• 6.1.3 有界线性算子
• 习题
• 6.2 Banach空间上的有界线性算子
• 6.2.1 逆算子定理
• 6.2.2 闭图像定理
• 6.2.3 共鸣定理
• 6.2.4 应用
• 习题
• 6.3 Banach空间上的连续线性泛函
• 6.3.1 连续线性泛函的存在性
• 6.3.2 共轭空间以及它的表示
• 6.3.3 共轭算予
• 习题
• 6.4 Banach空间的收敛性和紧致性
• 6.4.1 弱收敛与*弱收敛
• 6.4.2 弱列紧性与弱*列紧性
• 习题
• 附录A Zorn引理与势的序关系
• 附录B Tietze扩张定理
• 附录C 距离空间的完备化
• 附录D *纲集与开映射定理
• D.1 纲与纲定理
• D.2 开映射定理
• 附录E 部分习题的参考解答或提示
• 参考文献
• 符号集
• 索引